Бесконечность и отсутствие границ

Иногда люди рассуждают о бесконечности как об «отсутствии конца». С точки зрения языка такое рассуждение выглядит правильно. Но с точки зрения математики и физики — не всегда.

Важно отличать бесконечность от отсутствия границ. Представим себе жука, ползающего по поверхности сферы. Куда и как бы он ни двигался, он никогда до «конца» сферы не дойдет и всегда сможет продолжить движение. В край своего мира он никогда не упрется. Может ли он сделать вывод о том, что живет в бесконечном мире?

Жук на сфере может начать закрашивать те места, в которых побывал. Как бы он ни перемещался, через какое-то время он обязательно вернется на уже закрашенное место.

Если бы жук был достаточно разумным, он стал бы закрашивать свой мир концентрическими кольцами. Начинает с кружка небольшого радиуса, и, обходя его вокруг, дорисовывает полосу. Построив евклидову геометрию, он ожидает, что длина полосы есть 2πr. На самом деле на сфере по мере закраски длина его полосок растет медленнее, а после экватора, наоборот, сокращается, схлопываясь на противоположном полюсе.

В нашем мире вообще-то тоже совсем не очевидно, что, улетая от Земли «прямо» и никуда не сворачивая, космонавт в итоге не вернется к Земле. В этом случае у Вселенной всё еще не было бы границ, но она оказалась бы конечной. Можно было бы даже подсчитать её объем.

Примечательно, что мы можем измерить степень отклонения геометрии нашего мира от евклидовой. Данные, собранные спутником Planck о реликтовом излучении, показывают, что это отклонение — нулевое с точностью до 0,2%.

Таким образом, отсутствие границ еще не означает бесконечность. Пространство может быть конечным по объему и при этом не иметь края.