Чему же равно 6:2(1+2)?

Когда я впервые увидел этот пример в интернете, подумал, что это проблема на ровном месте. Да, мнения людей об ответе расходятся: кто-то отвечает 1, а кто-то 9. Но в реальности никакой путаницы не бывает, хотя бы потому, что деление обозначается двоеточием разве что в школе. В книгах и статьях формулы с делением записываются в виде дроби, и сначала нужно выполнить действия в числителе (над чертой) и в знаменателе (под чертой), и только потом выполнять деление, обозначаемое чертой. С такой записью разночтений нет:

$${6\over 2(1+2)}={6\over 6}=1.$$

Борис Трушин смог снять по этой теме целых два видео по 18 минут:

После просмотра я сделал для себя такой вывод. Приоритет арифметических действий учат в начальной школе, а опускать знак умножения — только в средней школе. По характеру необходимых действий пример 6:2(1+2) — из начальной школы, поэтому он записан некорректно, умножение между двойкой и скобками опускать нельзя.

И совсем недавно мне попалось еще одно видео по теме. Оказывается, мнение о правильном ответе расходятся не только у спорящих в интернете, но и у производителей калькуляторов!

В этом видео отметил следующие вещи. Оказывается, около 100 лет назад еще были колебания в определении приоритета (явного) умножения и деления, но колебания приоритета неявного умножения над делением не было: если знак умножения опущен, выражение воспринимается единым целым, будто записано в скобках. К девяностым годам североамериканские учителя повлияли на производителей калькуляторов, чтобы те изменили приоритет неявного умножения и выровняли его с явным умножением и делением. Но так сделали не все производители, а сейчас происходит частичный откат к тому, что неявное произведение становится приоритетнее. Колебания приоритета неявного умножения относятся только обучению в школе, в профессиональном употреблении колебаний нет.

После просмотра этого видео я понял, что мой аргумент про использование двоеточия как знака деления в основном в начальной школе — это всего лишь отрицание проблемы. Действительно, использование горизонтальной черты для обозначения деления удобно в отдельных формулах, а не в сплошном тексте. Сейчас в математических текстах вместо двоеточия используется наклонная черта. Так что никто не мешает спросить, чему равно 6/2(1+2).

Я решил посмотреть, как сам записывал в одну строку формулы с делением и неявным умножением, и какие приоритеты подразумевал. Прошелся по текстам в блоге о теоретической физике старше нескольких лет, чтобы исключить возможное влияние обсуждений этого вирусного примера. В выражении (5/4) v/R взял в скобки числовой множитель, чтобы показать, что получившаяся величина на четверть больше некоторой характерной угловой скорости v/R. При этом (5/4) v/R ≠ 5/4v/R = 5/4vR. По тем же соображениям использовал скобки в (4π/c) j, здесь так же (4π/c) j = 4πj/c ≠ 4π/cj. В выражении v/(pR) оставил в знаменателе скобки для понятности, их можно было бы убрать. И, наконец, c²/4G. Здесь и 4, и G в знаменателе, c²/4G ≠ c²G/4. Получается, я вполне последовательно использовал неявное умножение с более высоким приоритетом, чем деление, хотя и не могу вспомнить, что подобному правилу нас учили так же, как, например, формуле для решения квадратного уравнения.

Ради интереса взял с полки книгу начала прошлого века «The mathematical theory of electricity and magnetism». В ней тоже неявное умножение имеет более высокий приоритет перед делением, в чем легко убедиться, сравнив выражения 1/4πd в однострочной формуле и в двухэтажной дроби:

Раз уж мы обсуждаем приоритеты арифметических действий, поделюсь воспоминанием из начальной школы, кажется, из второго класса. Учительница нам говорила, что если в выражении на одном уровне несколько умножений и делений, то выполняются сначала деления, а потом умножения. Такого правила я больше нигде не встречал. Обычно учат, что умножение и деление выполняется подряд, слева направо. Например, 8/4×10/2 = 2×10/2 = 20/2 = 10. Если воспользоваться «странным» правилом о приоритете деления над умножением, тоже получится 8/4×10/2 = 2×5 = 10. При этом нельзя, например, сначала выполнить все умножения, а потом все деления. В нашем примере получилось бы 8/(4×10)/2 = 8/40/2 = 0,1, что не совпадает с правильным ответом. Как вы думаете, всегда ли «странное» правило приоритета деления над умножением приводит к тем же результатам, что и обычное правило? Или сможете найти контрпример?