О нуле в нулевой степени

Илья Бирман позволил, как мне сперва показалось, несколько вольное заявление о том, что 0⁰ = 1. Однако в ходе обмена мнениями выяснилось, что это не полушутливое, а вроде как серьезное мнение, от которого автор ни на шаг не отступит.

Как можно видеть в комментариях, не помогли мои объяснения того, откуда берется определение нулевой степени числа, разъяснения понятия «неопределенность» и «раскрытие неопределенности», а также другие соображения.

Его аргументация сводилась к тому, что это нужно «прочувствовать», а так же к нескольким примерам, в которых можно добиться несколько большего удобства в обозначениях, приняв, что 0⁰ = 1. Могу напомнить элементарные сведения из логики: сколь угодно много частных примеров не доказывают общее утверждение, а хотя бы один контрпример его опровергает.

Отвлекусь от тему и расскажу один случай. Пару дней назад нам на лекциях сказали про какую-то величину δ(m), которая равна 1, если m<0, и (-1)^m, если m>0. Мы принялись составлять формулы для величины δ(m), которые работали бы для любых m. Получилось вот что:

δ(m) = (-sign m)^m = (-1)^(m+|m|)/2

Вторая формула — моя. Видно, что в первой формуле при m=0 возникает неопределенность 0⁰. И можно заметить, что она будет работать, если положить 0⁰=1. Тогда я вспомнил Илью с его утверждением :)

Еще мысли об утверждении 0⁰=1:

1. По поводу ряда формул, упомянутых в этом комментарии. Следует понимать, что нет математических формул самих по себе. Каждая формула — по сути дела теорема, доказанная при определенных условиях. Например, формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа доказывается для значений x из проколотой окрестности x₀, то есть не совпадающих с x. При этом, разумеется, никаких 0⁰ не возникает.

2. Та полемика, которая разведена в комментариях, по объему и важности совсем не соответствует обсуждаемой проблеме. Лично я не буду ощущать никакой выгоды, считая, что 0⁰=1.