Формула Эйлера и приближенные методы

Илья Бирман в заметке о числах π и e написал об их связи со мнимой единицей:

Числа π и e входят в мою любимую формулу — формулу Эйлера, которая связывает 5 самых главных констант — ноль, единицу, мнимую единицу i и, собственно, числа π и е:

e^iπ + 1 = 0

Почему число 2,7182818284590 в комплексной степени 3,1415926535i вдруг равно минус единице? Ответ на этот вопрос выходит за рамки заметки и мог бы составить содержание небольшой книги, которая потребует некоторого начального понимания тригонометрии, пределов и рядов.

Замечание о небольшой книге верно. Но я собираюсь в одной заметке рассказать, почему e^iπ = −1, без привлечения пределов и рядов. Сначала я остановлюсь на приближенном выражении для экспоненты, а также напомню, как обращаться с комплексными числами.

Экспоненциальная функция

$$\begin{tikzpicture}[scale=1.0544]\small \begin{axis}[axis line style=gray, samples=120, width=11.3cm,height=7.158cm, xmin=-2.1, xmax=2.1, ymin=0, ymax=1.8, restrict y to domain=-0.2:2, ytick={1}, xtick={-1,1}, axis equal, axis x line=center, axis y line=center, xlabel=$x$,ylabel=$y$] \addplot[red,domain=-2:1,semithick]{exp(x)}; \addplot[black]{x+1}; \addplot[] coordinates {(1,1.5)} node{$y=x+1$}; \addplot[red] coordinates {(-1,0.6)} node{$y=e^x$}; \path (axis cs:0,0) node [anchor=north west,yshift=-0.07cm] {0}; \end{axis} \end{tikzpicture}$$

Экспоненциальная функция y = e^x среди степенных функций с другими основаниями примечательна тем, что касательная к ее графику в точке x = 0 идет под углом в 45 градусов. Как видно из рисунка, вблизи точки касания кривую y = e^x можно заменить самой касательной y = 1 + x. Поэтому для очень малых значений x экспоненту легко вычислить по приближенной формуле

e^x ≈ 1 + x,     |x| << 1.

Что делать, если показатель экспоненты не является малым числом? Попробуем извлечь корень из e^x и сразу же возвести в квадрат: e^x = e^x/2 e^x/2 = (e^x/2)². Показатель экспоненты уменьшился в два раза. Ясно, что если экспоненту разбить на большее количество множителей, показатель уменьшится еще сильнее: e^x = (e^x/n)ⁿ. Выбираем n очень большим и используем приближение для e^x/n:

$$e^x=\left(e^{x\over n}\right)^n\approx\left(1+{x\over n}\right)^n.$$

Чем больше n, тем меньше аргумент экспоненты x/n и тем точнее работает эта формула.

Комплексные числа

Комплексное число — это сумма обычного действительного числа a и мнимого числа bi, где мнимая единица i есть решение уравнения x² + 1 = 0. Правила действий над комплексными числами легко получить, если потребовать, чтобы основные формулы арифметики действительных чисел, такие как возведение в степень и раскрытие скобок, были верны и для комплексных чисел. То есть комплексные числа можно складывать и умножать как обычно, нужно только помнить, что i² = −1. Например,

$$\begin{align*}(a+bi)+(c+di)&=(a+c)+(b+d)i,\\ (a+bi)\cdot(c+di)&=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i.\end{align*}$$

У комплексных чисел a + bi есть наглядное графическое представление. Будем считать, что это число задает точку с координатами (a, b). Или, что то же самое, вектор, проведенный из начала координат в эту точку. Проекции вектора на оси координат есть a и b. Ясно, что каждому вектору можно сопоставить свою пару чисел (a, b), то есть свое комплексное число a + bi.

$$\begin{tikzpicture}[semithick,scale=1.0545]\small \tikzset{>=stealth} \def\r{2.3} \def\l{4} \def\ll{\l*0.8} \def\h{0.6} \def\a{2.4} \def\b{1.8} \def\t{0.07} \def\p{0.5} \draw[->,thin,gray](-\h,0)--(\l,0); \draw[->,thin,gray](0,-\h)--(0,\ll); \draw[red!50!black](0,0)--(\a,0) node[midway,below] {$a$}; \draw[black!50!green](\a,0)--(\a,\b) node[midway,right] {$b$}; \draw[->,black!40!blue](0,0)--(\a,\b) node[midway,above] {$r$} node[p=1,above,black] {$(a,b)$}; \draw[thin](\p,0) arc (0:atan2(\b,\a):\p) node[midway,right,yshift=0.06cm] {$\alpha$}; \path(0,0) node [anchor=north west,yshift=-0.07cm] {0}; \draw[line width=0.2mm,opacity=0] (-\h,-\h) rectangle (\l,\ll); \end{tikzpicture}$$

Представление в виде вектора удобно, когда речь идет о сумме комплексных чисел. Тогда вектор, соответствующий сумме комплексных чисел, равен сумме векторов, соответствующих каждому слагаемому. К сожалению, у произведения комплексных чисел нет такой наглядной картины. Тем не менее, чтобы сформулировать относительно простое правило для представления произведения в виде вектора, перейдем от декартовых координат (a, b) к полярным координатам r и α. Первое число задает длину вектора и называется модулем комплексного числа, а второе есть угол между вектором и осью абсцисс и называется аргументом. Ясно, что каждая пара этих чисел, r и α, тоже однозначно задает свой вектор и свое комплексное число.

Теперь можно сформулировать правило умножения в терминах длины вектора и его направления (оно выведено в дополнении к заметке). Длина вектора произведения равна произведению длин векторов сомножителей, а аргумент (угол между вектором и осью абсцисс) равен сумме аргументов. Я изобразил это правило на рисунке. Здесь синий вектор равен произведению зеленого и красного.

$$\begin{tikzpicture}[scale=1.0545,semithick,st1/.style={black!30!red,->},st2/.style={black!50!green,->},st3/.style={black!40!blue,->}] \footnotesize \tikzset{>=stealth} \def\r{2.5} \def\ra{1.3} \def\aa{48} \def\rb{1.1} \def\ab{72} \def\b{1.8} \def\t{0.07} \def\l{\r*1.6} \draw[gray,thin,->] (-0.5*\l,0)--(\l,0); \draw[gray,thin,->] (0,-0.6)--(0,\l); \draw[st1](0,0)--(\aa:\ra*\r) node[pos=0.7,left] {$r$}; \draw[st2](0,0)--(\ab:\rb*\r) node[pos=0.7,left] {$R$}; \draw[st3](0,0)--(\aa+\ab:\rb*\ra*\r) node[pos=0.6,left] {$r\cdot R\,$}; \def\pa{1.2} \draw[thin,st1] (\pa,0) arc (0:\aa:\pa) node[midway,right,yshift=0.06cm] {$\alpha$}; \def\pb{1.0} \draw[thin,st2] (\pb,0) arc (0:\ab:\pb) node[pos=0.74,above] {$\beta$}; \def\pb{0.8} \draw[thin,st3] (\pb,0) arc (0:\aa+\ab:\pb) node[pos=0.81,above] {$\alpha\!+\!\beta$}; \draw[very thin] (\r,\t)--(\r, -\t) node[below]{$1$} (\t,\r)--(-\t, \r) node[left]{$1$} (0,0) node [anchor=north west,yshift=-0.07cm] {0}; \draw [line width=0.2mm,opacity=0] (-0.5*\l,-0.6) rectangle (\l,\l); \end{tikzpicture}$$

Возведение в комплексную степень

В отличие от сложения и умножения, правило возведения в комплексную степень x^{a + bi}, или хотя бы во мнимую степень x^bi, нельзя получить, обобщив обычное правило возведения в действительную степень. Например, 2ⁱ — это результат умножения числа 2 самого на себя «i раз». Непонятно, правда?

Чтобы всё же определить возведение в комплексную степень, нужно привлечь дополнительные принципы или соображения по отношению к правилам арифметики. В качестве такого принципа я предлагаю считать разложение e^x ≈ 1 + x около нуля справедливым не только для действительных x, но и для комплексных.

Если это разложение верно, то тогда приближенная формула e^x ≈ (1 + x/n)ⁿ должна работать и для комплексных чисел. В ее показателе уже нет мнимой единицы, поэтому расчеты можно проводить с помощью выписанных выше правил. Это ровно то, что нам нужно для вычисления e^iπ.

Возьмем для примера n = 10 и будем умножать число 1 + iπ/10 само на себя, чтобы получить (1 + iπ/10)¹⁰. К счастью, компьютер большую часть работы делает за нас:

(1 + iπ/10)¹ = 1 + 0,3142i
(1 + iπ/10)² = 1 + 2·0,3142i − 0,3142² = 0,9013 + 0,6283i
(1 + iπ/10)³ = 0,7039 + 0,9115i
(1 + iπ/10)⁴ = 0,4176 + 1,1326i
(1 + iπ/10)⁵ = 0,0617 + 1,2638i
(1 + iπ/10)⁶ = −0,3352 + 1,2832i
(1 + iπ/10)⁷ = −0,7384 + 1,1779i
(1 + iπ/10)⁸ = −1,1085 + 0,9459i
(1 + iπ/10)⁹ = −1,4056 + 0,5976i
(1 + iπ/10)¹⁰ = −1,5934 + 0,1561i

Вот эти числа на рисунке:

$$\begin{tikzpicture}[scale=1.0545]\small \tikzset{>=stealth} \def\k{10} \def\p{3.1415926/\k} \def\r{3.1} \def\l{5.8} \def\t{0.07} \draw[->,thin,gray] (-\l,0)--(\l,0); \draw[->,thin,gray] (0,-0.6)--(0,\l); \draw[green!40!black](\r,0) -- (\r,\p*\r) node[midway,right] {$i\pi/\k$}; \foreach \l in {1,...,\k} \draw[->] (0,0) -- ({(\l-1)*atan(\p)}:{((sqrt(1+\p*\p)^(\l-1)*\r)}); \draw[->,red] (0,0) -- ({\k*atan(\p)}:{((sqrt(1+\p*\p)^\k*\r)}) node[pos=0.91,above] {$-1,\!5934+0,\!1561i$}; \draw[very thin] (\r,\t)--(\r,-\t) node[below]{$1$} (-\r,\t)--(-\r,-\t) node[below]{$-1$} (\t,\r)--(-\t,\r) node[left]{$1$} (0,0) node [anchor=north west,yshift=-0.07cm] {$0$}; \draw [line width=0.2mm,opacity=0] (-\l,-0.6) rectangle (\l,\l); \end{tikzpicture}$$

В соответствии с правилом умножения, аргумент растет как арифметическая прогрессия, а модуль — как геометрическая. К сожалению, из-за небольшого n наша формула слишком неточная, и мы пришли к числу −1,5934 + 0,1561i вместо ожидаемого −1. Но зато мы понимаем процедуру, которая при неограниченном росте n даст нужное значение.

Действительно, чем меньше число iπ/n, тем с большей точностью отрезок касательной iπ/n приближает дугу окружности, тем ближе к π/n угол между соседними векторами и тем меньше отклонение длины векторов от 1. В пределе мы получим точки окружности единичного радиуса, а само число (1 + iπ/n)ⁿ попадет в −1. Прямые вычисления это подтверждают:

(1 + iπ/100)¹⁰⁰ = −1,0506 + 0,001085i,
(1 + iπ/1000)¹⁰⁰⁰ = −1,004946 + 0,00001039i,
(1 + iπ/10000)¹⁰⁰⁰⁰ = −1,0004936 + 1,03·10⁻⁷i.

Дополнение 1. Привлечение математической строгости

Я на простых примерах рассказал о том, как ведут себя числа и функции. Математики обычно не используют изложенный выше способ рассуждений, хотя его можно сделать вполне строгим с помощью понятий предела и «о малого».

Но даже если следовать абсолютно строгому математическому пути построения теории, нельзя просто так ввести правило возведения в комплексную степень, без дополнительных определений и аксиом. Разложение e^x ≈ 1 + x представляет собой два первых слагаемых в ряде Тейлора (остальными слагаемыми мы пренебрегли, потому что они дадут поправку порядка x², которая несущественна при малых x). В простейшем случае комплексная экспонента определяется как сумма всех слагаемых ряда Тейлора. С использованием такого определения вывод формулы e^ix = cos x + i sin x, и ее частного случая, формулы Эйлера, является легким упражнением для изучающих математический анализ.

В более продвинутом курсе теории функций комплексной переменной вводится понятие аналитической функции. Это такая функция f, которая раскладывается в ряд Тейлора, который сходится к самой функции f. (Для того чтобы комплексная функция была аналитической в какой-то области, достаточно, чтобы она была дифференцируемой в этой области. Требование дифференцируемости в комплексном случае гораздо сильнее, чем в действительном. Комплексная дифференцируемая функция в области бесконечно дифференцируема и аналитична на ней.) Оказывается, что аналитическую функцию, определенную для действительных чисел, можно единственным образом продолжить в область комплексных чисел, чтобы функция осталась аналитической. В этом и состоит обоснование выбора определения комплексной экспоненты через ряды: мы специально выбираем экспоненту в виде ряда, чтобы получилась аналитическая функция.

Дополнение 2. Тригонометрическая форма и умножение комплексных чисел

$$\begin{tikzpicture}[semithick,scale=1.0545]\small \tikzset{>=stealth} \def\r{2.3} \def\l{4} \def\ll{\l*0.8} \def\h{0.6} \def\a{2.4} \def\b{1.8} \def\t{0.07} \def\p{0.5} \draw[->,thin,gray](-\h,0)--(\l,0); \draw[->,thin,gray](0,-\h)--(0,\ll); \draw[red!50!black](0,0)--(\a,0) node[midway,below] {$a$}; \draw[black!50!green](\a,0)--(\a,\b) node[midway,right] {$b$}; \draw[->,black!40!blue](0,0)--(\a,\b) node[midway,above] {$r$} node[p=1,above,black] {$(a,b)$}; \draw[thin](\p,0) arc (0:atan2(\b,\a):\p) node[midway,right,yshift=0.06cm] {$\alpha$}; \path(0,0) node [anchor=north west,yshift=-0.07cm] {0}; \draw[line width=0.2mm,opacity=0] (-\h,-\h) rectangle (\l,\ll); \end{tikzpicture}$$

После перехода от декартовых координат к полярным через последние можно выразить действительную и мнимую часть комплексного числа a + bi, которые являются катетами в треугольнике с гипотенузой r и углом α:

a = r cos α,     b = r sin α,     a + bi = r (cos α + i sin α).

Перемножим два комплексных числа в тригонометрической форме:

r (cos α + i sin α) · R (cos β + i sin β) = rR [(cos α cos β − sin α sin β) + i (sin α cos β + cos α sin β)].

Вспоминая тригонометрические формулы, видим, что в круглых скобках получились выражения для косинуса и синуса суммы углов. Окончательный ответ имеет вид

r (cos α + i sin α) · R (cos β + i sin β) = rR [cos (α + β) + i sin (α + β)].

Таким образом, модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей, а аргумент произведения есть сумма произведений сомножителей.

Дополнение 3. О приближенных методах вычислений

В физике постоянно используются приближенные методы, особенно разложение в ряд Тейлора до первого (изредка до второго) слагаемого. Дело в том, что аналитическое решение в виде формулы можно получить разве что в простейших задачах. Численно, на компьютере, тоже не всякая задача решается. Поэтому часто в ходе преобразований приходится что-нибудь раскладывать и чем-нибудь пренебрегать.

Иногда приближенные методы удается использовать и в арифметических задачах. Прекрасный пример встречается в книге «Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман»:

Тут в ресторан вошел японец. Я уже раньше видел его: он бродил по городу, пытаясь продать счеты. Он начал разговаривать с официантами и бросил им вызов, заявив, что может складывать числа быстрее, чем любой из них.

Официанты не хотели потерять лицо, поэтому сказали: «Да, да, конечно. А почему бы Вам не пойти к тому посетителю и не устроить соревнование с ним?»

Этот человек подошел ко мне. Я попытался сопротивляться: «Я плохо говорю на португальском!»

Официанты засмеялись. «С числами это не имеет значения», — сказали они.

Они принесли мне карандаш и бумагу.

Человек попросил официанта назвать несколько чисел, которые нужно сложить. Он разбил меня наголову, потому что пока я писал числа, он уже складывал их.

Тогда я предложил, чтобы официант написал два одинаковых списка чисел и отдал их нам одновременно. Разница оказалась небольшой. Он опять выиграл у меня приличное время.

Однако японец вошел в раж: он хотел показать, какой он умный. «Multiplicao!» — сказал он.

Кто-то написал задачу. Он снова выиграл у меня, хотя и не так много, потому что я довольно прилично умею умножать.

А потом этот человек сделал ошибку: он предложил деление. Он не понимал одного: чем сложнее задача, тем у меня больше шансов победить.

Нам дали длинную задачу на деление. Ничья.

Это весьма обеспокоило японца, потому что он явно прекрасно умел выполнять арифметические операции с помощью счет, а тут его почти победил какой-то посетитель ресторана.

«Raios cubicos!» — мстительно говорит он. Кубические корни! Он хочет брать кубические корни с помощью арифметики! Трудно найти более сложную фундаментальную задачу в арифметике. Должно быть, это был его конек в упражнениях со счетами.

Он пишет на бумаге число — любое большое число — я до сих пор его помню: 1729,03. Он начинает работать с этим числом и при этом что-то бормочет и ворчит: «Бу-бу-бу-хм-гм-бу-бу», — он трудится как демон! Он просто погружается в этот кубический корень!

Я же тем временем просто сижу на своем месте.

Один из официантов говорит: «Что Вы делаете?»

Я указываю на голову. «Думаю!» — говорю я. Затем пишу на бумаге 12. Еще через какое-то время — 12,002.

Человек со счетами вытирает со лба пот и говорит: «Двенадцать!»

«О, нет! — возражаю я. — Больше цифр! Больше цифр!» Я знаю, что, когда с помощью арифметики берешь кубический корень, то каждая последующая цифра требует большего труда, чем предыдущая. Это работа не из легких.

Он опять уходит в работу и при этом бормочет: «Уф-фыр-хм-уф-хм-гм…». Я же добавляю еще две цифры. Наконец, он поднимает голову и говорит: «12,0!»

Официанты просто светятся от счастья. Они говорят японцу: «Смотрите! Он делает это в уме, а Вам нужны счеты! И цифр у него больше!»

Он был абсолютно измотан и ушел, побежденный и униженный. Официанты поздравили друг друга.

Каким же образом посетитель выиграл у счетов? Число было 1729,03. Я случайно знал, что в кубическом футе 1728 кубических дюймов, так что было ясно, что ответ немногим больше 12. Излишек же, равный 1,03, — это всего лишь одна часть из почти 2000, а во время курса исчисления я запомнил, что для маленьких дробей излишек кубического корня равен одной трети излишка числа. Так что мне пришлось лишь найти дробь 1/1728, затем умножить полученный результат на 4 (разделить на 3 и умножить на 12). Вот так мне удалось получить целую кучу цифр.

Несколько недель спустя этот человек вошел в бар того отеля, в котором я остановился. Он узнал меня и подошел. «Скажите мне, — спросил он, — как Вам удалось так быстро решить задачу с кубическим корнем?»

Я начал объяснять, что использовал приближенный метод, и мне достаточно было определить процент ошибки. «Допустим, Вы дали мне число 28. Кубический корень из 27 равен 3…»

Он берет счеты: жжжжжжжжжжжжжжжж — «Да», — соглашается он.

И тут до меня доходит: он не знает чисел. Когда у тебя есть счеты, не нужно запоминать множество арифметических комбинаций; нужно просто научится щелкать костяшками вверх-вниз. Нет необходимости запоминать, что 9 + 7 = 16; ты просто знаешь, что когда прибавляешь 9, то нужно передвинуть десятичную костяшку вверх, а единичную — вниз. Поэтому основные арифметические действия мы выполняем медленнее, зато мы знаем числа.

Более того, сама идея о приближенном методе вычисления была за пределами его понимания, несмотря на то, что зачастую невозможно найти метод точного вычисления кубического корня. Поэтому мне так и не удалось научить его брать кубический корень или объяснить, как мне повезло, что он выбрал число 1729,03.

Фейнман использовал ряд Тейлора для степенной функции, который для кубического корня выглядит как $$\sqrt[3]{1+x}=1+x/3+\ldots$$ Вот вся последовательность вычислений:

$$\begin{align*} \sqrt[3]{1729,\!03}&=\sqrt[3]{1728\left(1+{1,\!03\over 1728}\right)}=12\sqrt[3]{1+{1,\!03\over 1728}}\approx12\left(1+{1\over 3}\cdot{1,\!03\over 1728}\right)=\\ &=12+{1,\!03\over 432}\approx12,\!00238. \end{align*}$$

В этом приближенном ответе благодаря малости числа 1,03/1728 по сравнению с единицей все цифры точные, расхождение с правильным ответом начинается в шестом знаке после запятой. Самая сложная операция в приведенной цепочке — вычисление дроби 1,03/432.