Необычный сон и шутка про банки

Сегодня мне приснился странный сон.

В моем сне Иван Голунов ведет новости или какой-то другой прямой эфир. К этому эфиру по видеосвязи подключен Владимир Рыжков. Голунов цитирует некоторую новость, в которой использовано слово «функционал». Они обсуждают, что функционал — это не то, о чем думает большинство. Рыжков замечает, что употребление слова неправильное, но заменить его нечем (на самом деле правильный термин — «функциональность»).

Дальше Голунов говорит Рыжкову: «А помните, как та шутка — „банк — он же не on-shell“». На этом я проснулся и не поленился записать саму фразу. Давайте разбираться, какой глубокий смысл в ней скрыт, и какой могла быть эта шутка (в реальности я ничего похожего не припомню).

Термины on-shell и off-shell — это жаргон из квантовой теории поля. Дословно они означают «на (массовой) поверхности» и «вне (массовой) поверхности». Под массовой поверхностью имеется в виду многомерный график соотношения между энергией и импульсом E²−p²=m². О настоящих частицах, для которых как раз выполняется закон сохранения энергии, говорят, что они находятся на массовой поверхности. А вот для виртуальных частиц, которые возникают в квантовой теории поля как вспомогательные объекты, закон сохранения энергии не выполняется, поэтому говорят, что они вне массовой поверхности: E²−p²≠m².

Виртуальные частицы часто используют в популярных объяснениях квантовых эффектов. Например, говорят, что физический вакуум — нулевые колебания квантовых полей — можно представить через рождение и уничтожение пар виртуальных частиц и античастиц. Они могут родиться на короткое время и почти сразу же аннигилировать, причем степень нарушения закона сохранения энергии, необходимая для рождения таких частиц, связана со временем их жизни через соотношения неопределенностей Гейзенберга. Однако если приложить достаточную энергию, виртуальные частицы могут стать реальными. Так объясняется излучение Хокинга, когда вблизи горизонта событий одна виртуальная частица получает достаточную энергию и покидает окрестность черной дыры, а другая поглощается.

Таким образом, фраза «банк — он же не on-shell» по смыслу эквивалента «для банка не выполняется закон сохранения». Какой закон сохранения неприменим к банкам? Очевидно, закон сохранения количества денег. Во-первых, банки не держат у себя все деньги вкладчиков. Эти деньги выдаются в виде кредитов, что увеличивает количество денег в экономике. Во-вторых, кредитные деньги ничем не отличаются от других денег. Они из оборота могут вновь попасть на депозиты, вновь могут быть выданы в виде кредитов и т. д. В экономике даже есть понятие банковского мультипликатора, которое описывает эту бесконечную историю.

Итак, шутка из сна могла быть про диалог двух физиков:
— Не могу понять, как банк может выдать кредитов больше, чем у него есть денег вкладчиков.
— Банк — он же не on-shell!
Можете воспользоваться, если окажетесь в компании физиков, обсуждающих экономику :)

Самая большая загадка: каким образом это всё оказалось в моем сне? Я иногда про себя отмечаю ошибку с употреблением слова «функционал» вместо «функциональность» в речи других, поэтому эта часть как раз не удивительна. Почему во сне были Голунов и Рыжков — не понимаю, я давно о них ничего не слышал. Термины on-shell и off-shell я не использовал много лет. И как вообще мозг во сне смог построить такую цепочку ассоциаций?

Как додуматься до решения олимпиадной задачи — 2

В прошлый раз я рассказывал о ходе своих мыслей при решении олимпиадной задачи. Может быть такие рассказы помогут кому-нибудь, кто хочет выработать нестандартное мышление. В этот раз расскажу о ходе решения еще одной задачи, которую разбирал Савватеев. По его словам, за 5 минут он решения не нашел, и зрителям думать не советовал. Но я не послушал и додумался до решения самостоятельно.

Условие задачи

Есть 3 различных натуральных числа $$x$$, $$y$$, $$z$$. Эти числа оказались подобраны так, что выражение

$$A={xy+yz+zx\over x+y+x}$$

тоже натуральное. Каким числом оно может быть? Иными словами, каково пересечение множества значений этой функции трех натуральных переменных и множества натуральных чисел?

Поиск решения

Идея №1: вынести в числителе за скобки $$xyz$$. Получается

$$A={\left({1\over x}+{1\over y}+{1\over z}\right)xyz\over x+y+x}.$$

Из этого я заметил, что при замене величин $$x$$, $$y$$ и $$z$$ на обратные $$1/x$$, $$1/y$$ и $$1/z$$ выражение «переворачивается», то есть $$A$$ меняется на $$1/A$$. Дальше у идеи не было очевидного развития, я решил попробовать другие идеи.

Идея №2: масштабирование. Видно, что если выполнить замену $$x$$, $$y$$ и $$z$$ на $$kx$$, $$ky$$ и $$kz$$, то числитель $$A$$ вырастет в $$k^2$$ раз, а знаменатель в $$k$$ раз, то есть $$A$$ меняется на $$kA$$. Как это можно применить? Пусть мы выбрали натуральные числа равными 1, 2 и 3. Тогда

$$A={2+6+3\over 1+2+3}={11\over 6}.$$

Чтобы из этого набора получить целое $$A=11$$, можно взять не 1, 2 и 3, а 6, 12 и 18.

Однако я не стал развивать дальше эту идею из-за ошибки. Мне показалось, что $$A$$ меняется не на $$kA$$, а на $$k^2A$$, и я пропустил условие, что числа могут быть различными. Так что мне показалось, что, подставив $$x=y=z=1$$, можно получить квадраты натуральных чисел 1, 4, 9,… Я понимал, что задача не такая простая, поэтому хотел проанализировать случай различных $$x$$, $$y$$ и $$z$$ (хотя по условию только их и надо анализировать), и перешел к дальнейшему рассмотрению.

Идея №3: перебор вариантов.

Чтобы прочувствовать задачу, часто бывает полезно рассмотреть некоторые частные случаи. В задачах вроде этой подобрать $$x$$, $$y$$ и $$z$$, чтобы выражение действительно было целым. В геометрических задачах бывает полезно нарисовать на черновике хороший чертеж, чтобы заметить закономерности вроде расположения точек на одной прямой или окружности.

Для перебора будем фиксировать значения $$x$$, $$y$$ и изменять $$z$$. Пусть $$x=y=1$$ (я проделал эту лишнюю работу, потому что невнимательно прочитал условие).

$$A={1+z+z\over 1+1+z}={1+2z\over 2+z}={4+2z-3\over 2+z}=2-{3\over 2+z}.$$

Ясно, что $$A=1$$ при $$z=1$$, а значение $$A=2$$ ни при каком $$z$$ не будет достигнуто.

Пусть $$x=1, y=2$$. Тогда

$$A={2+2z+z\over 1+2+z}={2+3z\over 3+z}.$$

Если $$z$$ нечетное, то числитель нечетный, знаменатель четный, $$A$$ не будет целым. Если $$z$$ четное, то числитель четный, знаменатель нечетный. Здесь я сделал еще одну ошибку, подумав, что четное число не может делиться на нечетное, и вообще исключил из рассмотрения варианты с $$x$$ и $$y$$ разной четности.

Пусть $$x=1, y=3$$. Тогда

$$A={3+3z+z\over 1+3+z}={3+4z\over 4+z}.$$

Здесь исключаем случай четного $$z$$, так как нечетный знаменатель не будет делиться на четный числитель. Попробуем подставить разные нечетные $$z$$. Получим:

$$ z=1\implies A={7/5}\\ z=3\implies A={12/7}\\ z=5\implies A={23/9}\\ z=7\implies A={31/11}\\ z=9\implies A={39/13}=3\\ z=11\implies A={47/15}\\ $$

Далее, сколько бы мы ни увеличивали $$z$$, до значения 4 мы не дойдем, так как 4 достигается только в пределе $$z\to\infty$$. Таким образом, при $$x=1, y=3$$ единственное целое $$A$$ дает $$z=9$$.

Пусть $$x=1, y=5$$. Тогда

$$A={5+5z+z\over 1+5+z}={5+6z\over 6+z}.$$

Перебор $$z$$ слишком долгий, и мы понимаем, что возможных значений $$A$$ не так уж много. Поэтому решим уравнение относительно $$z$$:

$$5+6z=A(6+z)\iff(6-A)z=6A-5\implies z={6A-5\over 6-A}.$$

Отсюда видно, что $$A$$ не может быть четным. 1 и 3 не подходят, $$A=5$$ дает $$z=25$$, других значений для проверки нет.

Мы видим, что значения переменных (1, 3, 9) и (1, 5, 25) дают целые значения $$A$$. Кажется, это и есть нужная закономерность.

Решение

Подставим значения $$x=1, y=n, z=n^2$$. Тогда

$$A={n+n^3+n^2\over 1+n+n^2}=n\,{1+n^2+n\over 1+n+n^2}=n.$$

Таким образом, мы можем в качестве значения выражения получить любое натуральное число, не равное 1. То, что 1 получить нельзя, посмотрите у Савватеева или докажите самостоятельно.

Обсуждение ошибок

После подстановки $$x=1, y=n, z=n^2$$ моя ошибка с четностью стала очевидной. Сначала мне вообще не хотелось писать об ошибках. Признаваться в них не очень приятно. Но с другой стороны, благодаря ошибкам на этапе поиска решения я довольно быстро нашел правильное решение. Могло бы оказаться так, что я углубился в разработку какой-нибудь другой тупиковой идеи и не довел бы решение до конца. Особенно важно такое чутье на самой олимпиаде в условиях ограниченного времени.

Чтобы минимизировать ошибки на олимпиадах, важно не переписывать решение с черновика на чистовик, а заново решить задачу на чистовике, обращаясь к черновику только для сравнения вычислений. Об этом и других советах я уже писал в руководстве олимпиадника.

Прокси-сервер через ssh

Полезная вещь в современных условиях — прокси-сервер через ssh. Если у вас есть доступ к какому-нибудь серверу по ssh, и вы хотите пропускать через него свой трафик, запустите в консоли команду

ssh -D 1337 -q -C -N example.com

Разумеется, вместо example.com нужно подставить ваш хост. После запуска вы можете использовать localhost и порт 1337 как параметры SOCKS5 прокси-сервера в браузере и других программах. При этом данные будут идти через соединение по ssh с вашим сервером.

Если у вас windows, можете взять консоль WSL, установить MinGW или поискать аналогичную функциональность в PuTTY на вкладке Connection/SSH/Tunnels.

← сюда туда →