Метод удвоения персонажей

Есть известный тип задач по математике, в которых несколько объектов движутся определенным образом, что-то о них известно, что-то требуется найти. Любую такую задачу можно решить универсальным методом, обозначив неизвестные величины переменными и составив систему уравнений. Но иногда с помощью подходящей иллюстрации или остроумного метода такие задачи можно решать в уме, без вычислений.

Откуда появился метод

Однажды коллега дал мне задачу на движение, якобы с собеседований (см. задачу №1 ниже). Чтобы упростить решение, я использовал метод (назовем его «удвоением персонажей»), о котором узнал из книжки Мартина Гарднера «Математические досуги». В ней сформулирована следующая задача:

Теорема о неподвижной точке. Однажды утром, как раз в тот момент, когда взошло солнце, один буддистский монах начал восхождение на высокую гору. Узкая тропа шириной не более одного-двух футов вилась серпантином по склону горы к сверкающему храму на ее вершине.

Монах шел по дорожке с разной скоростью; он часто останавливался, чтобы отдохнуть и поесть сушеных фруктов, которые взял с собой. К храму он подошел незадолго до захода солнца. После нескольких дней поста и размышлений монах пустился в обратный путь по той же тропе. Он вышел на рассвете и опять спускался с неодинаковой скоростью, много раз отдыхая по дороге. Средняя скорость спуска, конечно, превышала среднюю скорость подъема.

Докажите, что на тропе есть такая точка, которую монах во время спуска и во время подъема проходил в одно и то же время суток.

Решение задачи оказалось элегантным:

Человек поднимается на высокую гору и, пробыв несколько дней на вершине, спускается вниз. Найдется ли такая точка на тропе, которую оба раза он проходит в одно и то же время суток? Мое внимание на эту задачу обратил психолог из Орегонского университета Р. Хайман, который в свою очередь нашел ее в монографии, озаглавленной «О решении задач» и принадлежащей перу немецкого психолога Дункера. Дункер пишет, что сам он не смог решить задачу, и с удовлетворением отмечает, что никто из тех, кому он ее предлагал, тоже не добился успеха. Далее Дункер говорит о том, что существует много подходов к решению задачи, но, по его мнению, «самым очевидным является следующее объяснение. Пусть в один и тот же день по тропе идут два человека: один из них поднимается вверх, а второй спускается вниз. Они обязательно должны встретиться. Отсюда, как вы сами понимаете, следует, что… при таком подходе неясный вначале смысл задачи вдруг сразу становится совершенно очевидным».

Понятно, что в большинстве задач на движение за счет идеализации нет запутывающих сложностей: объекты движутся с постоянной скоростью, не тратят время на остановки и развороты. Но даже тогда приемы вроде перехода от ситуации с одним монахом к ситуации с двумя монахами упрощают рассуждения. Давайте посмотрим на примерах, как работает такой метод.

Задача №1

Человек хочет пройти через туннель для поездов. Пройдя четверть пути, он слышит приближающийся сзади поезд. Скорость поезда и расстояние до него неизвестны. Если человек развернется и побежит назад, то он достигнет начала туннеля одновременно с поездом. Если же человек побежит вперед, то конца туннеля он также достигнет одновременно с поездом. На сколько быстрее движется поезд по сравнению с человеком?

Решение через систему уравнений

Давайте для сравнения сначала решим задачу школьными методами.

Пусть скорость человека есть v, скорость поезда u, расстояние от поезда до тоннеля x, длина тоннеля y. В первой ситуации пока поезд проходит расстояние x до начала тоннеля, человек пробегает назад четверть y. Приравняем времена этих движений:

$${x\over u}={y/4\over v}.$$

Во второй ситуации до встречи поезд проходит сумму расстояний x и y, человек пробегает три четверти y. Аналогично получаем:

$${x+y\over u}={3y/4\over v}.$$

Вычитаем из второго уравнения первое:

$${y\over u}={2y/4\over v}={y\over 2v}.$$

Переменная x исчезла, у как ненулевая величина сокращается. Отсюда $$u=2v$$, то есть поезд в два раза быстрее.

Решение методом удвоения персонажей

Предположим, что через тоннель идет не один человек, а два. В момент обнаружения поезда первый бежит к началу тоннеля, а второй к концу.

$$\begin{tikzpicture}[font=\sffamily] \node[fill=green!20] (1) at (1.5,0.5) {1}; \node[fill=blue!20] (2) at (1.5,1) {2}; \draw[->] (1.west) -- ++(-0.5,0); \draw[->] (2.east) -- ++(0.5,0); \node[fill=red!30] at (-4,-0.5) {поезд}; \draw[semithick] (-5,0) -- (8,0); \foreach \x in {0,1.5,3,4.5,6} \draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1); \draw[fill=yellow] (0,-0.035) rectangle ++(6,0.07); \end{tikzpicture}$$

Когда первый пробежал четверть тоннеля и добежал до его начала, второй тоже пробежал четверть и оказался в середине тоннеля. В этот момент поезд проезжает начало тоннеля.

$$\begin{tikzpicture}[font=\sffamily] \node[fill=green!20] at (0,0.5) {1}; \node[fill=blue!20] at (3,0.5) {2}; \node[fill=red!30] at (0,-0.5) {поезд}; \draw[semithick] (-5,0) -- (8,0); \foreach \x in {0,1.5,3,4.5,6} \draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1); \draw[fill=yellow] (0,-0.035) rectangle ++(6,0.07); \end{tikzpicture}$$

Второму осталось бежать расстояние от середины тоннеля до конца, а поезду — проехать от начала тоннеля и до конца. По условию они делают это за одинаковое время.

$$\begin{tikzpicture}[font=\sffamily] \node[fill=green!20] at (0,0.5) {1}; \node[fill=blue!20] at (6,0.5) {2}; \node[fill=red!30] at (6,-0.5) {поезд}; \draw[semithick] (-5,0) -- (8,0); \foreach \x in {0,1.5,3,4.5,6} \draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1); \draw[fill=yellow] (0,-0.035) rectangle ++(6,0.07); \end{tikzpicture}$$

Таким образом, поезд в два раза быстрее человека.

Сравнение методов

Ясно, что оба метода по своему смыслу одинаковы. Но рассуждения во втором методе не только наглядны, но и выстроены в одну линию. Ход рассуждений и временной ход событий из задачи совпадают. Поэтому при решении не нужно держать в голове сведения из всей задачи целиком, можно последовательно перебирать происходящие события.

Задача №2

Велосипедист едет вдоль железной дороги. Он заметил, что электрички, которые идут в ту же сторону, обгоняют его с интервалом в час, а электрички, которые идут в обратную сторону, встречаются ему с интервалом в полчаса. С каким интервалом электрички выходят с конечных станций?

Эту задачу разбирали в следующем ролике на канале GetAClass:

Давайте посмотрим, как применить в этой задаче метод удвоения персонажей.

Решение

В этой задаче нас путают электрички, которые едут в двух разных направлениях. Перейдем к эквивалентной задаче, в которой электрички едут только в одном направлении, но велосипедистов два. Первый, который едет по ходу движения электричек, встречает их раз в час, а второй — в противоположном направлении — раз в полчаса.

Пусть в начальный момент времени электричка и два велосипедиста находятся в одной точке.

$$\begin{tikzpicture}[font=\sffamily] \node[fill=green!20] (1) at (2,0.5) {1}; \node[fill=blue!20] (2) at (2,1) {2}; \draw[->] (1.east) -- ++(0.5,0); \draw[->] (2.west) -- ++(-0.5,0); \node[fill=red!30] at (2,-0.5) {электричка 1}; \draw[-,semithick] (-5,0) -- (8,0); \foreach \x in {0,2,4,6} \draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1); \end{tikzpicture}$$

Через полчаса второй велосипедист, едущий назад, встречает следующую электричку. Запомним, что к этому моменту первый велосипедист проехал полчаса вперед. То есть расстояние между велосипедистами соответствует часу проходимого ими пути, назовем его «велосипедо-часом».

$$\begin{tikzpicture}[font=\sffamily] \node[fill=green!20] at (4,0.5) {1}; \node[fill=blue!20] at (0,0.5) {2}; \node[fill=red!30] at (0,-0.5) {электричка 2}; \draw[-,semithick] (-5,0) -- (8,0); \foreach \x in {0,2,4,6} \draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1); \end{tikzpicture}$$

За следующие полчаса электричка проезжает этот «велосипедо-час», а также еще половину «велосипедо-часа», которую проезжает первый велосипедист.

$$\begin{tikzpicture}[font=\sffamily] \node[fill=green!20] at (6,0.5) {1}; \node[fill=blue!20] at (-2,0.5) {2}; \node[fill=red!30] at (6,-0.5) {электричка 2}; \draw[-,semithick] (-5,0) -- (8,0); \foreach \x in {0,2,4,6} \draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1); \end{tikzpicture}$$

Теперь мы видим, что за последние полчаса электричка проезжает расстояние, в три раза большее, чем велосипедист, $$u=3v$$.

До второй половины решения задачи не так легко додуматься. Попробую объяснить, как к нему прийти. В условии есть некоторая неизменная величина — расстояние между соседними электричками. С ней проще работать в той системе отсчета, где электрички покоятся. То есть мы сейчас посмотрим на события глазами пассажиров электрички. Первый велосипедист движется в ту же сторону, что и мы, но мы в три раза быстрее. Скорость, с которой мы догоняем велосипедиста, равна двум велосипедным. Второй велосипедист движется на нас, и скорость сближения равна четырем велосипедным. К пассажирам на неподвижных станциях мы приближаемся с собственной скоростью, равной трем велосипедным скоростям. Нам будет казаться, что с этой скоростью они проносятся мимо нас назад. Получается, что одно и то же расстояние S между нами и следующей за нами электричкой первый велосипедист проходит с относительной скоростью 2v за час, второй с относительной скоростью 4v проходит за полчаса, а пассажиры на станции со скоростью 3v «преодолевают» за искомое время t. Запишем в виде уравнений:

$$S=2v\cdot 1,\quad S=4v\cdot{1\over 2},\quad S=3v\cdot t.$$

То, что первое и второе уравнения получились одинаковыми, показывает, что в первой половине решения ошибок не было. Из этих уравнений видно, что $$t=2/3$$ часа, или 40 минут.

Я бы не сказал, что до этого решения задачи додуматься проще всего. Можно было сразу записать систему уравнений с неизвестными скоростями $$(u-v)\cdot 1=(u+v)\cdot 0,\!5=u\cdot t$$ и решить ее относительно t. Но мне надо было на каком-то примере показать, как работает метод удвоения персонажей.